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『 教师频道 』
 
 浅谈平行线在几何问题中的作用
刘珍珍
(潜山县黄柏中心学校,1540081778@qq.com)
摘 要:有平行线这个条件,在初中几何问题中十分普遍。将平行线的主要作用进行总结,对学生学习几何和教师的几何教学中都是十分必要的。教师要善于将相应的题型总结给学生,使学生对平行有一个系统的认识,从而在遇到涉及到平行线的问题时也会有大体思路,不至于盲目。
关键词:初中几何,平行线,思路,题型
引 言
平行线一般在初中几何中,主要有求角的大小关系、截三角形相似、分线段成比例,以及平行线之间的距离处处相等从而延伸出来的求面积问题方面的应用。本文将对平行的这四方面的应用进行详细的阐述。
一、平行线学习的前奏
1.培养学习几何兴趣 
教育家乌申斯基说:没有兴趣的学习,将会扼杀学生探求真理的欲望。如果一个学生失去了学习的欲望和对知识的好奇心,对平面几何的学习毫无兴趣,这种情况下对后期的学习将会产生巨大的阻碍。因此我们在教学中应该重视促进学生学习的兴趣,密切联系实际让学生发现生活的启迪与几何的美感。而平行在日常生活中是极为普遍的图形,例如排队做操,站在同一平行线上,能错落有致,体现美感,也能便于疏散,设计此情景使的学生充满了好奇与乐趣,激发了学生的积极性;让学生体会数学与我们之间紧密的联系。在平时的教学过程中,将板书与多媒体教学充分结合,使学生增加参与感,不仅可以帮助学生更好的学习几何知识,也促进了学生动手动脑能力的发展,也能提高教学效果。
2.用爱心和鼓励对待学生 
要真正的解决学习几何问题的困难,除了各种教学方法同时还离不开老师心灵的关爱,初中阶段学生自尊心脆弱,渴望得到教师和同学的关注与帮助。尽量避免歧视、讽刺、刺伤自尊的语言和方式,多一份关爱,多一些帮助,感受到在充满教师与同学友爱中学习,多一份鼓励,多一些耐心,减轻学习心理压力,增强主动性学习,综合运用各方面动力源泉,如品格、口才、知识、聪慧各方面调动学生。课下争取多与学习困难的学生交流,拉近情感距离,营造出一个温馨的学习环境,使他们有所逐渐提高,引领学生走向几何教学的美丽世界。
二、平行线学习的实例
1.利用平行线求角的大小关系。
初一下册书介绍了平行线的三个性质,包括两直线平行同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,而这也是最初接触稍复杂几何图形的章节,而找角相等又是判断三角形全等和三角形相似的关键,从这一点也体现了数学各知识点之间相互连接渗透。同样找到角相等后很多东西都会迎刃而解,比如说等角对等边,角与边之间的等量代换等等,虽然平行线在这方面的应用大家很容易理解也很简单,但是也会有部分学生容易忽视。当然,解决很多较复杂的几何问题往往需要从解决简单的问题开始。
2.平行线截三角形相似
相似三角形的有一个判定方法是,平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似。说到底这个判定三角形相似的依据其实就是根据由两条直线平行从而得到两对同位角相等,与根据两角相等得三角形相似是一个道理,不过在这里我把它单独提出来,是希望我们都要对图形中的平行线敏感,有平行线,就有相似三角形,就有一些对应线段的比例式或乘积式就出来了,更有两相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以我们如果能求得两个三角形相似和它们的相似比,我们就能相应地解决面积问题。
例1:如图1,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE、BF,交点为G.
(1)求证:AE⊥BF;
(2)将 沿 对折,得到 (如图2),延长 交 的延长线于点 ,求 的值;
(3)将 绕点 逆时针方向旋转,使边 正好落在 上,得到 (如图3),若 和 相交于点 ,当正方形 的面积为4时,求四边形 的面积.
 
    分析: 解这一题的第三小题可以用相似三角形里的知识,由第一小可证∠AGN=90度,而∠AHM是由∠ABE旋转而来,所以∠AHM也为90度,从而NG∥MH,△AGN∽△AHM,,,, .这是我带的初三复习学生考试试卷中出现的一个压轴题,对大部分同学来说这一题的难度较大,问题在乎对平行线截三角形相似这一类用法还不够熟练,当然这一题也可以直接求四边形GHMN的面积,因为四边形GHMN是直角梯形,而求它的面积,只需要求出它的上底,下底及高。两种方法相比较,第一种方法比较简单,可见,平行线截三角形相似来解类似的题型还是比较方便的。
3.平行线分线段成比例
    两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。平行线分线段成比例定理简成,上:上=上:上,上:下=上:下,上:全=上:全,等等。对于这个定理的运用我们同样可以看下面一个例子。
    例2 如图所示,C为线段AB上一点,△ACD,△CBE都是等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,AE交BD于点O.
求证(1)AE=DB
    (2)

图4

 

 

 

 
分析:在第(1)题的基础上,易证△ACM与△DCN全等,所以CM与CN相等,又∠MCN为60度,所以可得△MCN为等边三角形,从而∠MNC=∠NCB,根据内错角相等两直线平行,所以MN平行CB,从而用平行线分线段成比例的结论,第(2)题得证。这道几何题一方面启发我们在写数学解答题后面的部分时,要注意考虑前面的解答对后面解题有没有作用,这道题第(2)小题解答时就用到了第(1)小题求到的两个三角形相似的结论,第二方面启发我们对于求比例式等式可以求两线平行。
 

 

     4.平行线之间的距离处处相等。
     距离问题一般涉及到图形的面积,而平行线在很多图形中都存在,如常见的,正方形,矩形,平行四边形,梯形。如下是一个最基本的模型,在四边形ABCD中AD平行BC,三角形ABC和三角形BOD同底等高,所以面积相等,从而也易得三角形ABO面积与三角形DOC面积相等。我们 再看下面一个例子。
   
 

图5

 

 

例3 如图,在□ABCD中,EF分别是ADBC边上的任意两点,三角形ABP的面积为20cm2,三角形CDQ的面积为30cm2,求阴影部分四边形PFQE的面积是多少?

 

 
 

 


图6

 
                       

 

 
分析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD平行BC,因而四边形ABFE和四边形EFCD就是形如图5的一个基本图形。所以三角形ABP的面积等于三角形PEF的面积,三角形DQC的面积等于EFQ的面积,所以四边形PFQE的面积等于三角形PEF的面积加三角形EFQ等价于三角形ABP的面积加上三角形DQC的面积。
三、总结
     几何问题对于初中生来说一般难度较大,在整个中考试卷中是属于拉分的题目,2016年初中毕业学业考试纲要要求图形与几何占整个卷面分38%,所以说学好几何是数学拿到高分的关键,而平行线在几何图形中出现得较为普遍,因而熟练地掌握平行线的这四种一般用法十分有必要。所以,教师在进行初三复习时,要善于适当地将各知识系统地总结给大家,如关于平行线时,用几个例题将平行线的一般用法教给学生,学生就会对平行线有更深层面的认识,而下次在遇到关于有平行线的几何题目是头脑中有思绪和方向,从而有效地提高自己的数学成绩。
 
 
 
 
 
·发布时间:2017-5-14 ·访问人数:102
 
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